2018 Ольшевский Андрей Георгиевич

Сайт наполняется книгами, вы можете книги скачать

Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы

1 Векторы в пространстве

Векторы в пространстве включают геометрия 10, 11 класс и аналитическая геометрия. Векторы позволяют эффектно решать геометрические задачи второй части ЕГЭ и аналитической геометрии в пространстве. Векторы в пространстве даются так же как и векторы на плоскости, но учитывается третья координата z . Исключение из векторов в пространстве третьего измерения дает векторы на плоскости, которые объясняет геометрия 8, 9 класс.

1.1 Вектор на плоскости и в пространстве

Вектор - это направленный отрезок с началом и концом, изображаемым на рисунке стрелкой. Произвольная точка пространства может считаться нулевым вектором. Нулевой вектор не имеет конкретного направления, так как начало и конец совпадают, поэтому ему можно придать любое направление.

Vector в переводе с английского обозначает вектор, направление, курс, наведение, задание направления, курс самолета.

Длина (модуль) ненулевого вектора - это длина отрезка AB , которая обозначается
. Длина вектора обозначается . Нулевой вектор имеет длину равную нулю = 0.

Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сонаправленными называются коллинеарные ненулевые векторы, имеющие одно направление. Сонаправленные векторы обозначаются знаком . Например, если вектор сонаправлен с вектором , то используется запись .

Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Противоположно направленными называются два коллинеарных ненулевых вектора, имеющих противоположное направление. Противоположно направленные векторы обозначаются знаком ↓. Например, если вектор противоположно направлен вектору , то используется запись ↓ .

Равными называются сонаправленные векторы равной длины.

Многие физические величины являются векторными величинами: сила, скорость, электрическое поле.

Если не задана точка приложения (начала) вектора, то она выбирается произвольно.

Если в точку O поместить начало вектора, то считается, что вектор отложен от точки O . Из любой точки можно отложить единственный вектор, равный данному вектору.

1.2 Сумма векторов

При сложении векторов по правилу треугольника, проводится вектор 1, из конца которого проводится вектор 2 и суммой двух данных векторов является вектор 3, проведенный из начала вектора 1 к концу вектора 2:

Для произвольных точек A , B и C можно написать сумму векторов:

+
=

Если два вектора выходят из одной точки

то их лучше складывать по правилу параллелограмма.

При сложении двух векторов по правилу параллелограмма, складываемые векторы откладываются из одной точки, из концов этих векторов достраивается параллелограмм путем прикладывания к концу одного вектора начала другого. Вектор, образованный диагональю параллелограмма, берущий начало от точки начала складываемых векторов, будет являться суммой векторов

Правило параллелограмма содержит в себе разный порядок сложения векторов по правилу треугольника.

Законы сложения векторов:

1. Переместительный закон + = + .

2. Сочетательный закон ( + ) + = + ( + ).

Если необходимо сложить несколько векторов, то векторы складываются попарно или по правилу многоугольника: из конца вектора 1 проводится вектор 2, из конца вектора 2 проводится вектор 3, из конца вектора 3 проводится вектор 4, из конца вектора 4 проводится вектор 5 и т. д. Вектор, являющийся суммой нескольких векторов, проводится от начала вектора 1 до конца последнего вектора.

По законам сложения векторов порядок сложения векторов не влияет на результирующий вектор, являющийся суммой нескольких векторов.

Противоположными называются два ненулевых противоположно направленных вектора равной длины. Вектор - является противоположным вектору

Эти векторы противоположно направленные и равны по модулю.

1.3 Разность векторов

Разность векторов можно записать в виде суммы векторов

- = + (-),

где "- " - вектор, противоположный вектору .

Векторы и - можно складывать по правилу треугольника или параллелограмма.

Пусть даны векторы и

Для нахождения разности векторов - строим вектор -

Векторы и - складываем по правилу треугольника, прикладывая к концу вектора начало вектора - , получили вектор + (-) = -

Векторы и - складываем по правилу параллелограмма, отложив начала векторов и - из одной точки

Если векторы и берут начало из одной точки

,

то разность векторов - дает вектор, соединяющий их концы и стрелка на конце результирующего вектора ставится в направлении того вектора, от которого отнимают второй вектор

Рисунок ниже демонстрирует сложение и разность векторов

Рисунок ниже демонстрирует сложение и разность векторов разными способами

Задача. Даны векторы и .

Изобразить сумму и разность векторов всеми возможными способами во всевозможных сочетаниях векторов.

1.4 Лемма о коллинеарных векторах

= k

1.5 Произведение вектора на число

Произведение ненулевого вектора на число k дает вектор = k , коллинеарный вектору . Длина вектора :

| | = |k |·| |

Если k > 0, то векторы и сонаправленные.

Если k = 0, то вектор нулевой.

Если k < 0, то векторы и противоположно направленные.

Если |k | = 1, то векторы и равной длины.

Если k = 1, то и равные векторы.

Если k = -1, то и противоположные векторы.

Если |k | > 1, то длина вектора больше длины вектора .

Если k > 1, то векторы и сонаправленные и длина больше длины вектора .

Если k < -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Если |k | < 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Если 0 < k < 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Если -1 < k < 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Произведение нулевого вектора на число дает нулевой вектор.

Задача. Дан вектор .

Построить векторы 2 , -3 , 0,5 , -1,5 .

Задача. Даны векторы и .

Построить векторы 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Законы, описывающие умножение вектора на число

1. Сочетательный закон (kn ) = k (n )

2. Первый распределительный закон k ( + ) = k + k .

3. Второй распределительный закон (k + n ) = k + n .

Для коллинеарных векторов и , если ≠ 0, существует единственное число k , позволяющее выразить вектор через :

= k

1.6 Компланарные векторы

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если провести векторы, равные данным компланарным векторам из одной точки, то они будут лежать в одной плоскости. Поэтому можно сказать, что компланарными называются векторы, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Два произвольных вектора всегда компланарны. Три вектора могут быть компланарными или не компланарными. Три вектора, из которых хотя бы два коллинеарные, компланарны. Коллинеарные векторы всегда компланарны.

1.7 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Любой вектор единственным образом разлагается на плоскости по двум неколлинеарным ненулевым векторам и с единственными коэффициентами разложения x и y :

= x + y

Любой вектор , компланарный ненулевым векторам и , единственным образом разлагается по двум неколлинеарным векторам и с единственными коэффициентами разложения x и y :

= x + y

Разложим на плоскости заданный вектор по данным неколлинеарным векторам и :

Проведем из одной точки заданные компланарные векторы

Из конца вектора проведем прямые, параллельные векторам и до пересечения с прямыми, проведенными через вектора и . Получим параллелограмм

Длины сторон параллелограмма получаются путем умножения длин векторов и на числа x и y , которые определяются путем деления длин сторон параллелограмма на длины соответствующих им векторов и . Получаем разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и :

= x + y

В решаемой задаче x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, поэтому разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и можно записать в виде

1,3 + 1,9 .

В решаемой задаче x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, поэтому разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и можно записать в виде

1,3 - 1,9 .

1.8 Правило параллелепипеда

Параллелепипед - это объемная фигура, противоположные грани которой состоят из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях.

Правило параллелепипеда позволяет складывать три некомпланарных вектора, которые откладываются из одной точки и строится параллелепипед так, чтобы суммируемые векторы образовывали его ребра, а остальные ребра параллелепипеда были соответственно параллельны и равны длинам ребер, образованных суммируемыми векторами. Диагональ параллелепипеда образует вектор, являющийся суммой заданных трех векторов, который начинается из точки начала складываемых векторов.

1.9 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Любой вектор разлагается по трем заданным некомпланарным векторам , и с единственными коэффициентами разложения x , y , z :

= x + y + z .

1.10 Прямоугольная система координат в пространстве

В трехмерном пространстве прямоугольная система координат Oxyz задается началом координат O и пересекающими в ней взаимно перпендикулярными координатными осями Ox , Oy и Oz с выбранными положительными направлениями, указанными стрелками, и единицей измерения отрезков. Если масштаб отрезков одинаковый по всем трем осям, то такая система называется декартовой системой координат.

Координата x называется абсциссой, y - ординатой, z - аппликатой. Координаты точки M записываются в скобках M (x ; y ; z ).

1.11 Координаты вектора в пространстве

В пространстве зададим прямоугольную систему координат Oxyz . От начала координат в положительных направлениях осей Ox , Oy , Oz проведем соответствующие единичные векторы , , , которые называются координатными векторами и некомпланарны. Поэтому любой вектор разлагается по трем заданным некомпланарным координатным векторам , и с единственными коэффициентами разложения x , y , z :

= x + y + z .

Коэффициенты разложения x , y , z являются координатами вектора в заданной прямоугольной системе координат, которые записываются в скобках (x ; y ; z ). Нулевой вектор имеет координаты равные нулю (0; 0; 0). У равных векторов соответствующие координаты равны.

Правила нахождения координат результирующего вектора:

1. При суммировании двух и более векторов каждая координата результирующего вектора равна сумме соответствующих координат заданных векторов. Если даны два вектора (x 1 ; y 1 ; z 1) и (x 1 ; y 1 ; z 1), то сумма векторов + дает вектор с координатами (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Разность является разновидностью суммы, поэтому разность соответствующих координат дает каждую координату вектора, полученного при вычитании двух заданных векторов. Если даны два вектора (x a ; y a ; z a ) и (x b ; y b ; z b ), то разность векторов - дает вектор с координатами (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. При умножении вектора на число каждая координата результирующего вектора равна произведению этого числа на соответствующую координату заданного вектора. Если даны число k и вектор (x ; y ; z ), то умножение вектора на число k дает вектор k с координатами

k = (kx ; ky ; kz ).

Задача. Найти координаты вектора = 2 - 3 + 4 , если координаты векторов (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Решение

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Координаты вектора, радиус-вектора и точки

Координаты вектора - это координаты конца вектора, если начало вектора поместить в начало координат.

Радиус-вектор - это вектор, проведенный из начала координат к данной точке, координаты радиус-вектора и точки равны.

Если вектор
задан точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), то каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

Для коллинеарных векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2), если ≠ 0, существует единственное число k , позволяющее выразить вектор через :

= k

Тогда координаты вектора выражаются через координаты вектора

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

Отношение соответствующих координат коллинеарных векторов равно единственному числу k

1.13 Длина вектора и расстояние между двумя точками

Длина вектора (x ; y ; z ) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат

Длина вектора , заданного точками начала M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и конца M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) равна корню квадратному из суммы квадратов разности соответствующих координат конца вектора и начала

Расстояние d между двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) равно длине вектора

На плоскости отсутствует координата z

Расстояние между точками M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Координаты середины отрезка

Если точка C - середина отрезка AB , то радиус-вектор точки C в произвольной системе координат с началом в точке O равен половине суммы радиус-векторов точек A и B

Если координаты векторов
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ; z 2), то каждая координата вектора равна половине суммы соответствующих координат векторов и

,
,

= (x , y , z ) =

Каждая из координат середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

1.15 Угол между векторами

Угол между векторами - равен углу между проведенными из одной точки лучами, сонаправленными с этими векторами. Угол между векторами может быть от 0 0 до 180 0 включительно. Угол между сонаправленными векторами равен 0 0 . Если один вектор или оба нулевые, то угол между векторами, хотя бы один из которых нулевой, равен 0 0 . Угол между перпендикулярными векторами равен 90 0 . Угол между противоположно направленными векторами 180 0 .

1.16 Проекция вектора

1.17 Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов - это число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между векторами

Если = 0 0 , то векторы сонаправлены
и
= cos 0 0 = 1, следовательно, скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин (модулей)

.

Если угол между векторами 0 < < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, следовательно скалярное произведение больше нуля
.

Если ненулевые векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
, так как cos 90 0 = 0. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Если
, то косинус угла между такими векторами меньше нуля
, следовательно скалярное произведение меньше нуля
.

При увеличении угла между векторами косинус угла между ними
уменьшается и достигает минимального значения при = 180 0 , когда векторы противоположно направлены
. Так как cos 180 0 = -1, то
. Скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин (модулей).

Скалярный квадрат вектора равен модулю вектора в квадрате

Скалярное произведение векторов, по крайней мере один из которых нулевой, равно нулю.

1.18 Физический смысл скалярного произведения векторов

Из курса физики известно, что работа A силы при перемещении тела равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы и перемещения

Если вектор силы сонаправлен с перемещением тела , то угол между векторами
= 0 0 , следовательно работа силы на перемещении максимальна и равна A =
.

Если 0 < < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Если = 90 0 , то работа силы на перемещении равна нулю A = 0.

Если 90 0 < < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Если вектор силы противоположно направлен перемещению тела , то угол между векторами = 180 0 , следовательно работа силы на перемещении отрицательна и равна A = - .

Задача. Определить работу силы тяжести при подъеме легкового автомобиля массой 1 тонна по трассе длинной 1 км, имеющей угол наклона 30 0 к горизонту. Сколько литров воды при температуре 20 0 можно вскипятить, используя эту энергию?

Решение

Работа A силы тяжести при перемещении тела равна произведению длин векторов и на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы тяжести и перемещения

Сила тяжести

G = mg = 1000 кг · 10 м/с 2 = 10 000 Н.

= 1000 м.

Угол между векторами = 120 0 . Тогда

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0,5.

Подставляем

A = 10 000 Н · 1000 м · (-0,5) = - 5 000 000 Дж = - 5 МДж.

1.19 Скалярное произведение векторов в координатах

Скалярное произведение двух векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) в прямоугольной системе координат равно сумме произведений одноименных координат

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Условие перпендикулярности векторов

Если ненулевые векторы = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

Если задан один ненулевой вектор = (x 1 ; y 1 ; z 1), то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2 ; z 2) должны удовлетворять равенству

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Таких векторов бесконечное множество.

Если на плоскости задан один ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2) должны удовлетворять равенству

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Если на плоскости задан ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то достаточно задать произвольно одну из координат перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2) и из условия перпендикулярности векторов

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

выразить вторую координату вектора .

Например, если подставить произвольную координату x 2 , то

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Вторая координата вектора

Если придать x 2 = y 1 , то вторая координата вектора

Если на плоскости задан ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то перпендикулярный (нормальный) ему вектор = (y 1 ; -x 1).

Если одна из координат ненулевого вектора равна нулю, то у вектора такая же координата не равна нулю, а вторая координата равна нулю. Такие векторы лежат на осях координат, поэтому перпендикулярны.

Определим второй вектор, перпендикулярный вектору = (x 1 ; y 1), но противоположный вектору , то есть вектор - . Тогда достаточно поменять знаки координат вектора

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Задача.

Решение

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Подставляем координаты вектора = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

верно!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

верно!

Ответ: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Если присвоить x 2 = 1, подставить

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Получим координату y 2 вектора, перпендикулярного вектору = (x 1 ; y 1)

Для получения второго вектора, перпендикулярного вектору = (x 1 ; y 1), но противоположно направленного вектору . Пусть

Тогда достаточно поменять знаки координат вектора .

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

Задача. Задан вектор = (3; -5). Найти два нормальных вектора с различной ориентацией.

Решение

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

Координаты одного вектора

Координаты второго вектора

Для проверки перпендикулярности векторов подставим их координаты в условие перпендикулярности векторов

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·1 + (-5)·0,6 = 3 - 3 = 0

верно!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

верно!

Ответ: и .

Если присвоить x 2 = - x 1 , подставить

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Получим координату вектора, перпендикулярного вектору

Если присвоить x 2 = x 1 , подставить

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Получим координату y второго вектора, перпендикулярного вектору

Координаты одного вектора, перпендикулярного на плоскости вектору = (x 1 ; y 1)

Координаты второго вектора, перпендикулярного на плоскости вектору = (x 1 ; y 1)

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

1.21 Косинус угла между векторами

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение длин этих векторов

Если
= 1, то угол между векторами равен 0 0 , векторы сонаправлены.

Если 0 < < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Если = 0, то угол между векторами равен 90 0 , векторы перпендикулярны.

Если -1 < < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Если = -1, то угол между векторами равен 180 0 , векторы противоположно направлены.

Если какой-то вектор задан координатами начала и конца, то отнимая от соответствующих координат конца вектора координаты начала, получаем координаты этого вектора.

Задача. Найти угол между векторами (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Решение

Скалярное произведение векторов

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

следовательно угол между векторами равен = 90 0 .

1.22 Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения справедливы при любых , , , k :

1.
, если
, то
, если = , то
= 0.

2. Переместительный закон

3. Распределительный закон

4. Сочетательный закон
.

1.23 Направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой - это ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой, параллельной данной прямой.

Если прямая задана двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), то направляющим является вектор
или противоположный ему вектор
= - , координаты которых

Систему координат желательно задать так, чтобы прямая проходила через начало координат, тогда координаты единственной точки на прямой и будут координатами направляющего вектора.

Задача. Определить координаты направляющего вектора прямой, проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Решение

Направляющий вектор прямой проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) обозначим
. Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M 1 , с концом в точке M 2 и равный ему вектор
из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)

1.24 Угол между двумя прямыми

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых на плоскости и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми. Поэтому угол между прямыми φ ≤ 90 0 .

Пересекающиеся прямые могут быть, в частности, перпендикулярны φ = 90 0 .

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых в пространстве и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми.

2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .

3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .

4. Прямые скрещиваются, то есть не пересекаются в пространстве и не параллельны. Углом φ между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми, проведенными параллельно этим прямым так, чтобы они пересекались. Поэтому угол между прямыми φ ≤ 90 0 .

Угол между 2-мя прямыми равен углу между прямыми, проведенными параллельно этим прямым в одной плоскости. Поэтому угол между прямыми 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Угол θ (тета) между векторами и 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Если угол φ между прямыми α и β равен углу θ между направляющими векторами этих прямых φ = θ, то

cos φ = cos θ.

Если угол между прямыми φ = 180 0 - θ, то

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Поэтому косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между векторами

cos φ = |cos θ|.

Если заданы координаты ненулевых векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2), то косинус угла θ между ними

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых

cos φ = |cos θ| =

Прямые являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.

Если каждая из двух прямых задана двумя точками, то можно определить направляющие векторы этих прямых и косинус угла между прямыми.

Если cos φ = 1, то угол φ между прямыми равен 0 0 , можно принять для этих прямых один из направляющих векторов этих прямых, прямые параллельны или совпадают. Если прямые не совпадают, то они параллельны. Если прямые совпадают, то любая точка одной прямой принадлежит другой прямой.

Если 0 < cos φ ≤ 1, то угол между прямыми 0 0 < φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Если cos φ = 0, то угол φ между прямыми 90 0 (прямые перпендикулярны), прямые пересекаются или скрещиваются.

Задача. Определить угол между прямыми M 1 M 3 и M 2 M 3 с координатами точек M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).

Решение

Построим заданные точки и прямые в системе координат Oxyz .

Направляющие векторы прямых направим так, чтобы угол θ между векторами совпадал с углом φ между заданными прямыми. Изобразим векторы =
и =
, а также углы θ и φ:

Определим координаты векторов и

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 и ax + by + cz = 0;

Плоскость параллельна той оси координат, обозначение которой отсутствует в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю, например, при c = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by + d = 0 ;

Плоскость содержит ту ось координат, обозначение которой отсутствует, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю и d = 0, например, при c = d = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by = 0;

Плоскость параллельна координатной плоскости, обозначения которой отсутствуют в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующие коэффициенты равны нулю, например, при b = c = 0 плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и не содержит y , z в уравнении ax + d = 0.

Если плоскость совпадает с координатной плоскостью, то уравнение такой плоскости представляет из себя равенство нулю обозначения координатной оси, перпендикулярной данной координатной плоскости, например, при x = 0 заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Нормальный вектор задан уравнением

Представить уравнение плоскости в нормальной форме.

Решение

Координаты нормального вектора

A ; b ; c ), то можно подставить координаты точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) и координаты a , b , c нормального вектора в общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0 (1)

Получаем уравнение с одной неизвестной d

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

Отсюда

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Уравнение плоскости (1) после подстановки d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) перпендикулярно не нулевому вектору (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Раскроем скобки

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Обозначим

d = - ax 0 - by 0 - cz 0

Получим общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Уравнение плоскости, проходящей через две точки и начало координат

ax + by + cz + d = 0.

Систему координат желательно задать так, чтобы плоскость проходила через начало этой системы координат. Точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), лежащие в этой плоскости, необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.

Плоскость будет проходить через начало координат, поэтому d = 0. Тогда общее уравнение плоскости принимает вид

ax + by + cz = 0.

Неизвестно 3 коэффициента a , b , c . Подстановка координат двух точек в общее уравнение плоскости дает систему 2-х уравнений. Если принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента.

Если одна из координат точки нулевая, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий этой координате.

Если у какой-то точки две координаты нулевые, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий одной из этих нулевых координат.

Если принимается a = 1, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента b и c :

Систему этих уравнений проще решить помножив какое-то уравнение на такое число, чтобы коэффициенты при какой-то неизвестной стали равны. Тогда разность уравнений позволит исключить эту неизвестную, определить другую неизвестную. Подстановка найденной неизвестной в любое уравнение позволит определить и вторую неизвестную.

1.30 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определим коэффициенты общего уравнения плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) и M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). У точек не должно быть двух одинаковых координат.

Неизвестно 4 коэффициента a , b , c и d . Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений. Принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента. Обычно принимается a = 1, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента b , c и d :

Систему уравнений лучше решать методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Можно переставлять уравнения в системе. Любое уравнение можно умножить или поделить на любой коэффициент не равный нулю. Любые два уравнения можно сложить и результирующее уравнение записать вместо любого из этих двух складываемых уравнений. Из уравнений исключаются неизвестные, получением нулевого коэффициента перед ними. В одном уравнении, обычно самом нижнем остается одна переменная, которая определяется. Найденная переменная подставляется во второе уравнение снизу, в котором обычно остается 2 неизвестные. Уравнения решаются снизу вверх и определяются все неизвестные коэффициенты.

Коэффициенты ставятся впереди неизвестных, а свободные от неизвестных члены переносятся в правую часть уравнений

В верхнюю строку обычно ставится уравнение, имеющее коэффициент 1 перед первой или любой неизвестной, или все первое уравнение делится на коэффициент перед первой неизвестной. В данной системе уравнений разделим первое уравнение на y 1

Перед первой неизвестной получили коэффициент 1:

Для обнуления коэффициента перед первой переменной второго уравнения помножим первое уравнение на -y 2 , сложим его со вторым уравнением и полученное уравнение запишем вместо второго уравнения. Первая неизвестная во втором уравнении будет исключена, потому что

y 2 b - y 2 b = 0.

Аналогично исключаем первую неизвестную в третьем уравнении, помножив первое уравнение на -y 3 , сложив его с третьим уравнением и полученное уравнение записав вместо третьего уравнения. Первая неизвестная в третьем уравнении будет также исключена, потому что

y 3 b - y 3 b = 0.

Аналогично исключаем вторую неизвестную в третьем уравнении. Решаем систему снизу вверх.

Задача.

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и y + 0·z + 0 = 0

x = 0.

Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Определить общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1). Найти расстояние от этой плоскости до точки M 0 (10; -3; -7).

Решение

Построим заданные точки в системе координат Oxyz .

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений

ℓ =

Веб-страницы: 1 2 Векторы на плоскости и в пространстве (продолжение)

Консультации Ольшевского Андрея Георгиевича по Skype da .irk .ru

Подготовка студентов и школьников по математике, физике, информатике, школьников желающих получить много баллов (часть C) и слабых учеников к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ. Одновременное улучшение текущей успеваемости путем развития памяти, мышления, понятного объяснения сложного, наглядного преподнесения предметов. Особый подход к каждому ученику. Подготовка к олимпиадам, обеспечивающим льготы при поступлении. 15-летний опыт улучшения успеваемости учеников.

Высшая математика, алгебра, геометрия, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.

Понятное объяснение теории, ликвидация пробелов в понимании, обучение приемам решения задач, консультирование при написании курсовых, дипломов.

Авиационные, ракетные и автомобильные двигатели. Гиперзвуковые, прямоточные, ракетные, импульсные детонационные, пульсирующие, газотурбинные, поршневые двигатели внутреннего сгорания - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления. Термодинамика, теплотехника, газовая динамика, гидравлика.

Авиация, аэромеханика, аэродинамика, динамика полета, теория, конструкция, аэрогидромеханика. Сверхлегкие летательные аппараты, экранопланы, самолеты, вертолеты, ракеты, крылатые ракеты, аппараты на воздушной подушке, дирижабли, винты - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления.

Генерация, внедрение идей. Основы научных исследований, методы генерации, внедрения научных, изобретательских, бизнес идей. Обучение приемам решения научных проблем, изобретательских задач. Научное, изобретательское, писательское, инженерное творчество. Постановка, выбор, решение наиболее ценных научных, изобретательских задач, идей.

Публикации результатов творчества. Как написать и опубликовать научную статью, подать заявку на изобретение, написать, издать книгу. Теория написания, защиты диссертаций. Зарабатывание денег на идеях, изобретениях. Консультирование при создании изобретений, написании заявок на изобретения, научных статей, заявок на изобретения, книг, монографий, диссертаций. Соавторство в изобретениях, научных статьях, монографиях.

Теоретическая механика (теормех), сопротивление материалов (сопромат), детали машин, теория механизмов и машин (ТММ), технология машиностроения, технические дисциплины.

Теоретические основы электротехники (ТОЭ), электроника, основы цифровой, аналоговой электроники.

Аналитическая геометрия, начертательная геометрия, инженерная графика, черчение. Компьютерная графика, программирование графики, чертежи в Автокад, Нанокад, фотомонтаж.

Логика, графы, деревья, дискретная математика.

OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, макросы, VBScript, Бэйсик, С, С++, Делфи, Паскаль, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Маткад. Создание программ, игр для ПК, ноутбуков, мобильных устройств. Использование бесплатных готовых программ, движков с открытыми исходными кодами.

Создание, размещение, раскрутка, программирование сайтов, интернет-магазинов, заработки на сайтах, Web-дизайн.

Информатика, пользователь ПК: тексты, таблицы, презентации, обучение методу скоропечатания за 2 часа, базы данных, 1С, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, Автокад, nanoCad, Интернет, сети, электронная почта.

Устройство, ремонт компьютеров стационарных и ноутбуков.

Видеоблогер, создание, редактирование, размещение видео, видеомонтаж, зарабатывание денег на видеоблогах.

Выбор, достижение целей, планирование.

Обучение зарабатыванию денег в Интернет: блогер, видеоблогер, программы, сайты, интернет-магазин, статьи, книги и др.

Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича

15.10.17 Ольшевский Андрей Георгиевич e-mail: [email protected]

Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии.

Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы

Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса мы сопоставим вектор , если составим линейную комбинацию .

Числа – называются компонентами (или координатами ) вектора в данном базисе (записывается ).

Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Действительно, если и , то

Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко можете сформулировать их самостоятельно.

Глава 5. Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными .

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами (рис.9).

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA 0 .

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA 0 и AA 0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

Базис называется ортогональным , если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным , если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда .

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Глава 6. Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ - угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

Действительно, пусть , причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы второго раздела следует, что , где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы , и . Но, , где φ - угол между векторами , и . Итак, . Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1. ; 2. ; 3. .

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .

Теорема: В ортонормированном базисе

;
;
;
.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это самостоятельно.

Глава 7. Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой ), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой ).

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь , масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$; точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overline{A B}$ либо одной малой буквой: $\overline{a}$.

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым . Чаще всего нулевой вектор обозначается как $\overline{0}$.

Векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются сонаправленными , если их направления совпадают: $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$ (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются противоположно направленными , если их направления противоположны: $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$ (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора $\overline{A B}$ называется расстояние между его началом и концом: $|\overline{A B}|$

Подробная теория про длину вектора по ссылке .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом .

Векторы называются равными , если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны , если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

$\overline{a}=\overline{b}$ , если $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b},|\overline{a}|=|\overline{b}|$

В произвольной точке $M$ пространства можно построить единственный вектор $\overline{M N}$, равный заданному вектору $\overline{A B}$.

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

(1)

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

(2)

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии . Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод , понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии , авторы – Л.С. Атанасян и Компания . Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах . Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т . Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том . Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице Скачать примеры по высшей математике .

Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов , а также и Векторное и смешанное произведение векторов . Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении . На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений , что позволит научиться решать задачи по геометрии . Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве , Уравнения прямой в пространстве , Основные задачи на прямую и плоскость , другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор . Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем . Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор .

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки :

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор . Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда:)).

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены .

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается . Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны , при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо : если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны . Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность .

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами . Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа , которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Ужин подан:

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:


А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя . Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора .

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Пример 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов :

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

Пример 2

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .