Чему равно ускорение тела. Ускорение

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

На данном уроке мы с вами рассмотрим важную характеристику неравномерного движения - ускорение. Кроме того, мы рассмотрим неравномерное движение с постоянным ускорением. Такое движение еще называется равноускоренным или равнозамедленным. Наконец, мы поговорим о том, как графически изображать зависимости скорости тела от времени при равноускоренном движении.

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10.

2. Запишите зависимости скорости от времени и нарисуйте графики зависимости скорости тела от времени для случаев, изображенных на рис. 1, случаи б) и г). Отметьте на графиках точки поворота, если такие есть.

3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Вопрос. Является ли ускорение свободного падения ускорением, согласно данному выше определению?

Ответ. Конечно, является. Ускорение свободного падения - это ускорение тела, которое свободно падает с некоторой высоты (сопротивлением воздуха нужно пренебречь).

Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости движения тела?

Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.

Вопрос. Можно ли вычислять тангенс угла наклона, воспользовавшись транспортиром и калькулятором?

Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должно иметь размерность м/с 2 .

Вопрос. Что можно сказать о движении, если график зависимости скорости от времени не является прямой?

Ответ. Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.

При прямолинейном равноускоренном движении тело

1. двигается вдоль условной прямой линии,
2. его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
3. за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.

Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .

Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.

Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:

При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:

Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:

Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:

Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:

Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:

at = v – v 0
a = (v – v 0)/t

В случае торможения:

at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t

В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:

Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:

Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.

При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.

Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Итак, пройденный путь определяется по формуле:

s = v 0 t + at 2 /2

(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)

Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.

Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.

Страница 6 из 12

§ 5. Ускорение.
Равноускоренное прямолинейное движение

1. При неравномерном движении скорость тела с течением времени изменяется. Рассмотрим самый простой случай неравномерного движения.

Движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одно и то же значение, называют равноускоренным.

Например, если за каждые 2 с скорость тела изменялась на4 м/с, то движение тела является равноускоренным. Модуль скорости при таком движении может как увеличиваться, так и уменьшаться.

2. Пусть в начальный момент времени t 0 = 0 скорость тела равна v 0 . В некоторый момент времени t она стала равной v . Тогда изменение скорости за промежуток времени t – t 0 = t равно v – v 0 , а за единицу времени - . Это отношение называется ускорением . Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

Ускорением тела при равноускоренном движении называют векторную физическую величину, равную отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло.

Единица ускорения в СИ - метр на секунду в квадрате (1 ):

[a ] === 1 .

За единицу ускорения принимают ускорение такого равноускоренного движения, при котором скорость тела за 1 с изменяется на 1 м/с.

3. Поскольку ускорение - величина векторная, необходимо выяснить, как оно направлено.

Пусть автомобиль движется прямолинейно, имея начальную скорость v 0 (скорость в момент времени t = 0) и скорость v в некоторый момент времени t . Модуль скорости автомобиля возрастает. На рисунке 22, а изображены вектор скорости автомобиля. Из определения ускорения, следует, что вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и разность векторов v – v 0 . Следовательно в данном случае направление вектора ускорения совпадает с направлением движения тела (с направлением вектора скорости).

Пусть теперь модуль скорости автомобиля уменьшается (рис. 22б ). В этом случае направление вектора ускорения противоположно направлению движения тела (направлению вектора скорости).

4. Преобразовав формулу ускорения при равноускоренном прямолинейном движении, можно получить формулу для нахождения скорости тела в любой момент времени:

Если начальная скорость тела равна нулю, т. е. в начальный момент времени оно покоилось, то эта формула приобретает вид:

v = at .

5. При вычислении скорости или ускорения пользуются формулами, в которые входят не векторы, а проекции этих величин на координатную ось. Поскольку проекция суммы векторов равна сумме их проекций, то формула для проекции скорости на ось X имеет вид:

v x = v 0x + a x t ,

где v x - проекция скорости в момент времени t , v 0x - проекция начальной скорости, a x - проекция ускорения.

При решении задач необходимо учитывать знаки проекций. Так, в случае, изображенном на рисунке 22, а , проекции скоростей и ускорения на ось X положительны; модуль скоростис течением времени возрастает. В случае, изображенном на рисунке 22, б , проекции на ось X скоростей положительны, а проекция ускорения - отрицательна; модуль скорости с течением времени уменьшается.

6. Пример решения задачи

Скорость автомобиля при торможении уменьшилась от 23 до 15 м/с. Каково ускорение тела, если торможение длилось 5 с?

Запишем формулу для нахождения скорости при равноускоренном прямолинейном движении:

v = v 0 + at .

В проекциях на ось X получим

v x = v 0x + a x t .

Учитывая, что проекция ускорения тела на ось X отрицательна, а проекции скоростей на эту ось положительны, запишем: v = v 0 – at .

Откуда:

a = ;

a == 1,6 м/с 2 .

Ответ: a = 1,6 м/с 2 .

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равноускоренным?

2. Что называют ускорением равноускоренного движения?

3. По какой формуле вычисляется ускорение при равноускоренном движении?

4. Какова единица ускорения в СИ?

5. По какой формуле вычисляется скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении?

6. Каков знак проекции ускорения на ось X по отношению к проекции скорости тела на эту же ось, если модуль его скорости увеличивается; уменьшается?

Задание 5

1. Чему равно ускорение автомобиля, если через 2 мин после начала движения из состояния покоя он приобрел скорость 72 км/ч?

2. Поезд, начальная скорость которого равна 36 км/ч, разгоняется с ускорением 0,5 м/ с 2 . Какую скорость приобретет поезд через 20 с?

3. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, останавливается у светофора в течение 15 с. Чему равно ускорение автомобиля?

4. Какую скорость приобретет велосипедист через 5 с после начала торможения, если его начальная скорость равна 10 м/с, а ускорение при торможении составляет 1,2 м/с 2 ?